Il primo ad adoperarsi nell'approssimazione di tale valore fu a Siracusa Archimede, nel 250 A.C.
Egli notò che, inscrivendo all'interno di una circonferenza di raggio 0.5 un poligono regolare sempre con più lati, il suo perimetro si avvicinava sempre più a 𝜋, in questo caso il valore della circonferenza.
Alcuni dicono che Archimede fu ucciso da un soldato romano perché si rifiutò di smettere di lavorare sui suoi "cerchi".

Da qui si ricava che la formula per calcolare 𝜋 è, per N lati: $$ \pi = N sin{180° \over N} $$

Archimede tuttavia non disponeva del "seno" e quindi ricorse ad una versione semplificata di questa formula:
partendo da N = 6, ha raddoppiato il numero di lati più e più volte, fino ad arrivare a N = 96.
Per fare ciò è necessario poter calcolare il lato di un poligono regonare di 2N lati, semplicemente conoscendo la misura di quello di N lati.

Semplicemente col teorema di pitagora si ricava h, e da esso L' $$ h = r - \sqrt{r^2 - {L^2 \over 4}} $$ $$ {L'}^2 = 2rh \rightarrow {L'}^2 = 2r^2 - 2r\sqrt{r^2 - {L^2 \over 4}} $$ $$ L' = \sqrt{2r^2 - 2r\sqrt{r^2 - {L^2 \over 4}}} $$ $$ \pi \approx N \times L' = N\sqrt{2r^2 - 2r\sqrt{r^2 - {L^2 \over 4}}} $$
Partendo dall'esagono è semplice, in quanto L = r

Sfruttando questo procedimento fino a N = 96, ripetendolo non solo inscrivendo ma anche circoscrivendo i poligoni, il siculo riuscì ad arrivare ad $$ {223 \over 71} < \pi < {22 \over 7} $$
È opportuno rendere noto che il matematico non disponeva di un metodo moderno per calcolare le radici quadrate ed è stato così costretto ad utilizzare solamente tecniche approssimative.

Nel 1668, il matematico e astronomo scozzese James Gregory elaborò una serie infinita per approssimare l'inverso delle tangenti.
$$ tan^{-1}{x} = \sum\limits_{K=0}^\infty { {(-1)^K x^{2K+1} } \over {2K+1} } =x - {x^3 \over 3} + {x^5 \over 5} - {x^7 \over 7} + {x^9 \over 9} - {x^{11} \over 11} + ... $$
Gottfried Leibniz, pochi anni dopo, impose x = 1 e ricavò quindi: $$ {\pi \over 4} = \sum\limits_{K=0}^\infty { { (-1)^K } \over {2K+1} } = 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + {1 \over 9} - {1 \over 11} + ... $$
Per approssimare 𝜋 sarà possibile inserire un valore molto grande di N nella seguente formula: $$ \pi \approx 4\sum\limits_{K=0}^N { { (-1)^K } \over {2K+1} } $$
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Queste due serie sono facilmente dimostrate dal lavoro di un altro matematico indiano di due secoli precedente, Madhava di Sangamagrama, che per primo ricavò il modo di approssimare un angolo dalla sua tangente: $$ \theta = \sum\limits_{N=0}^\infty { {(-1)^N tan^{2N+1}{\theta} } \over {2N+1} } =tan{\theta} - {tan^3{\theta} \over 3} + {tan^5{\theta} \over 5} - {tan^7{\theta} \over 7} + ... $$ Ponendo anche qui θ = 𝜋 / 4 si arriva alla formula di Leibniz.

Srinivasa Ramanujan, matematico indiano, nel 1910 arrivò a questa serie che converge nel reciproco di 𝜋: $$ {1 \over \pi} = { {2 \sqrt{ 2 }} \over 9801}\sum\limits_{k=0}^\infty { { (4k)! (1103 + 26390k)} \over { (k!)^4 396^{4k}} } $$
Questa serie fu la base per gli "algoritmi veloci" per computare 𝜋, in particolare questa formula è stata ripresa e modificata nel 1988 dai fratelli Chudnovsky che scrissero: $$ {1 \over \pi} = 12\sum\limits_{k=0}^\infty { { (-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)} \over { (3k)! (k!)^3 (640320)^{3(k+1/2)} } } $$
Per un calcolo ancora più veloce sì è semplificata a: $$ {128096012 \over {3\pi}} = \sum\limits_{k=0}^\infty { { (6k)! (13591409 + 545140134k)} \over { (3k)! (k!)^3 (-2625374112640768000)^k } } $$
Ogni termine della somma è molto complesso per essere calcolato ma la convergenza a 𝜋 è molto veloce: già con 2 iterazioni si ottengono correttamente ben 9 cifre decimali dopo la virgola

Sembra strano ma questa simulazione di urti elastici riesce a calcolare Pi Greco!
Entrambi i blocchi effettuano urti elastci tra loro e il blocco di sinistra rimbalza senza perdere energia quando urta sul muro.
Le masse dei blocchi non sono casuali: il blocco piccolo ha massa unitaria mentre l'altro ha come massa un multiplo di 100.
Quasi magicamante il numero di collisioni che effettua il blocco piccolo approssima 𝜋.
Clicca per guardare il video tutorial su
La complessità esponenziale dell'algoritmo lo rende pessimo per tempi di computazione: per questo motivo non è mai stato veramente impiegato per calcolare cifre di 𝜋 a noi sconosciute. Rimane pur sempre divertente da simulare e guardare.

Prendendo un quarto di circonferenza inscirtto in un quadrato, abbiamo che il rapporto tra le aree è $$ { { {\pi r^2} \over 4 } \over {r^2}} = { {\pi r^2} \over {4 r^2}} = { \pi \over 4} $$
Sorteggiando una notevole quantità di punti, il rapporto tra il numero dei punti interni al quarto di circonferenza e quelli totali dovrebbe essere circa come quello delle aree $$ {N_{Interni} \over N_{Esterni}} \approx { \pi \over 4} $$
Poiché impiega numeri estratti casualmente questo metodo è detto anche Metodo Montecarlo.

L'impiego di numeri generati casualmente rende purtroppo i valori trovati non molto attendibili, in quanto non è possibile generare un numero in maniera deltutto incondizionata.
Tuttavia queste "estrazioni" possono essere indicazione di quanto l'algoritmo che restituisce numeri pseudo-casuali è buono.